¿Puedo demandar la custiodia de mi bebé?

En el mes de abril nació mi hija, y ahora tiene 2 meses. La niña fue registrada en el estado de méxico, y tiene su acta mi domicilio. La madre y yo no estamos casados y nunca hemos vivido juntos.
En su casa su familia me ha corrido y sencillamente no son bienvenido. Yo le propuse vivir juntos en el domicilio en casa de mis madres, y ella rechazó. No me permite ver a mi hija más de cuatro horas a la semana y eso debo ir yo a verla e ir a dejarla puntualmente.
La madre trabaja y mientras trabaja se queda al cuidado de la abuela -mamá de la madre de mi bebé-. En la casa de ella habita un hermano de 29 años con retraso mental y que requiere de ansiolíticos y sedantes para no tener conductas violentas.
Cuatro horas resultan bien pero en ocasiones insuficientes. Porque no puedo llevarla de paseo o tener con plenitud una convivencia social debido a que el tiempo es limitado. El transporte de mi domicilio al suyo es de una hora, y netas me quedarían dos de convivencia con la bebé.
Yo no me niego a solventar la manutención -aunque ella ha mencionado por correos electrónicos que no la necesita-.
Yo quisiera demandar la custodia de la bebé pero solamente para poder tener derecho a convivir con ella cuando menos 12 horas continuas por semana. Yo no me niego ni me opongo a que la madre la visite en el domicilio, o que permanezca con ella toda la semana. De mi parte no habría restricciones de ese tipo.
¿puede ser favorable la demanda de custodia en esas circunstancias?
Dado el tiempo de la bebé ¿cuánto tiempo máximo podré convivir con la niña a la semana? La madre tiene un total de 58 horas de convivencia efectiva con la niña. Su ingreso y el mío son aproximadamente similares. ¿Qué porcentaje de pensión puede solicitarme? ¿Es proporcional el monto de pensión al tiempo que puedo convivir con la niña?
Sinceramente yo sé que por ser hombre llevo la de perder. Pero en este caso es ella quien argumenta que no me puede dejar mucho tiempo a la niña, porque va a llover, porque tiene que amamantarla -a pesar de producir cantidades escasas de leche de forma natural y siendo fórmula láctea la mayor parte de alimento que ingiere.
Al día, yo trabajo menos horas que ella. Los horarios que ella plantea para que yo vea a la niña son totalmente a su favor. Muy temprano... y no permite que sean posteriores a las 7:00 pm. :(
Ella me dijo: Ya le pedí a una abogada que de manera legal ponga las cosas a mi favor. ¿debo yo iniciar una demanda por mi parte? ¿Debo esperar citatorios? Ya son dos semanas que no me permite ver a mi hija.
Hace dos días que inició ella el proceso, y dice que puedo ver a mi hija pero en su domicilio. No me permite sacarla.
De antemano gracias